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Stetig lineare Grundglieder 1. Teil
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Einteilung der Grundglieder

Die Grundglieder werden nach den Übertragungsverhalten eingeteilt:



P0-Glied

Das P0-Glied lässt sich am einfachsten mit einen Spannungsteiler erklären.

Hierbei ist die Eingangsspannung UE das Eingangssignal xe, und die Ausgangsspannung UA ist das Ausgangssignal xa.

Untersuchung der Sprungantwort

Die Eingangsspannung und die Ausgangsspannung sind direkt proportional, in einer Formel ausgedrückt:

und als Funktion so dargestellt:
Die Formel umgestellt nach UA:
Für R1 / Rges wird K, der proportionale Übertragungsfaktor, eingesetzt und es ergibt sich:
UA =  K  ·  UE

Da das Eingangssignal xe die Eingangsspannung UE ist und das Ausgangssignal xa die Ausgangsspannung UA ist, ergibt sich die Übergangsfunktion:
xa = K · xe  ( Übergangsfunktion eines P0-Gliedes )

UA :Ausgangsspannung
UE :Eingangsspannung
Rges :Gesamtwiderstand des Spannungsteilers
R1 :Widerstand des Spannungsteiler, an den Teil Die Ausgangsspannung abfällt
K : proportionaler Übertragungsfaktor



Untersuchung der Anstiegsantwort
Nach dem Anstiegseingang folgt beim Spannungsteiler auch ein stetig lineare Funktion im Ausgang, die ansteigend ist.

f(t)UE = UE · t

wenn man beide Seiten mit dem proportionalen Übertragungsfaktor K multipliziert erhält man:
f(t)(UE · K) = UE · t · K

Da UE · K gleich UA ist und UE · t gleich f(t)UE ist, folgt:
f(t)UA = f(t)UE · K
Wenn man die allgemeinen Symbole, für den Eingang xe und xa für den Ausgang, einsetzt, folgt für ein P0:-Glied:
f(t)xa = f(t)xe · K

Die Funktion der Anstiegsantwort:

Untersuchung der Sinusantwort Nachdem man am Eingang des Spannungsteilers eine Sinuswechselspannung angelegt hat, erhält man auch ein Sinusausgangssignal ohne Zeitverschiebungen. die Größe des Signals hängt nur proportional von Übertragungsfaktor ab.

xe =xe0 sin(ωt)
Da f(t)xa = K · f(t)xe ist ergibt sich:
xa = K · xe0sin(ωt)

Als Funktion dargestellt:

Wie aus der Formel ersichtlich folgt das Ausgangssignal unmittelbar den Eingangssignal ohne zeitlichen Verzug, dass heißt: Es tritt keine Phasenverschiebung auf (φ = 0).

Übergangsfunktion
Bei der Untersuchung der Sprungantwort hatten wir schon folgende Gleichung:

xa = K · xe
Wenn man die Gleichung umstellt, erhält man die Übergansfunktion in der allgemeinen Form:
xa / xe = K

Als Funktion dargestellt:

Frequenzgang
Die Formel für den Frequenzgang lautet:

F(iω) = = xa(iω) / xe(iω)
da xa(iω) = K · xe(iω), ergibt sich für den Frequenzgang:
F(iω) = K

Der Frequenzgang in einer Funktion dargestellt, ist die Ortskurve.

Differentialgleichung
Jetzt komme ich noch einmal auf die Formel von der Sprungantwort, die schon die allgemeine Form der Differentialgleichung darstellt:

xa = K · xe 

Das P0-Glied ist das einfachste Glied. Bei diesen Glied ist die Phasenverschiebung immer φ = 0, der Frequenzgang hat nur einen reellen Anteil und kein Teil der Differentialgleichung wird nach der Zeit abgeleitet.




I0-Glied

Ein Behälter mit Flüssigkeit und einen Zulauf, wird oft benutzt um ein I0-Glied zu erklären. Hierbei ist Q die Differenz aus Zulauf Qzulauf und Ablauf Qablauf die Eingangsgröße xe und die Höhe des Flüssgikeitsstandes des Behälters h die Ausgangsgröße xa.



Differentialgleichung
Der Durchfluss ist die erste Ableitung des Volumen nach der Zeit.

Q = dV / dt

Das Volumen ist nur von der Höhe h abhangig, wenn die Fläche A konstant ist.
V = h · A

Aus den beiden Formeln ergibt sich:

Um die Gleichung nach den Ausgang umstellen zu können wird sie über dt integriert:

Die Gleichung wird folgendermaßen aufgelöst und umgestellt:


Hier ist dann 1/A der integrale Übertragungsfaktor KI.
Dies in die Gleichung eingesetzt ergibt:
h = Ki ∫ Q dt

Hieraus läßt sich durch einsetzen der allgemein formulierten Größen xe und xa die allgemeine Form der Differentialgleichung ableiten.
xa = KI ∫xe dt

Sprungantwort

Die Sprungantwort ergibt sich aus der Lösung der Differentialgleichung für den Sprungeingang.
Sprungeingang:

Sprungantwort:

Die allgemeine Funktion für die Sprungantwort ist dann:
xa = KI xe0 t

Anstiegsantwort

Die Anstiegsantwort ergibt sich auch aus der Lösung der Differentialgleichung für den Anstiegseingang.
Anstiegseingang:

Anstiegsantwort:
Die allgemeine Funktion für die Anstiegsantwort:
xa = KI · xe0 · t2

Sinusantwort

Die Sinusantwort ergibt sich auch aus der Lösung der Differentialgleichung für den Sinuseingang.
Hierfür muss aber auch noch die Anfangsbedingung festgelegt werden, und das wird in diesen konkreten Fall sehr deutlich und auch leicht verständlich.
In der Differentialgleichung ist ein Integral enthalten, das gelöst werden muss. Die Lösung des Integrals kann mit jeder Konstante addiert werden, denn das umkehren der Rechnung durch differenzieren, wäre diese Konstante 0.
Die Anfangsbedingung wird hier mit h = 0 festgelegt.
Sinuseingang:

xe = xe0 sin(ωt)
Sinusantwort:
Da f(t)xa = KIf(t)xe dt ergibt sich, wenn man die Eingangsfunktion einsetzt:
f(t)xa = KI ∫[xe0sin (ωt)] dt

Nach Auflösung vom Integral erhält man:
f(t)xa = KI · xe0 sin(ωt - 90°)

Diese Gleichung beschreibt den Sinuseingang, wenn keine Anfangsbedingung für den Ausgang festgelegt ist.
Jetzt ergibt sich aber für t = 0 der Wert -KI · xe0 für xa, aber als Anfangbedingung der Funktion wurde h = 0, also xa = 0 festgelegt. Damit die Anfangsbedingung erfüllt wird muss KIxe0 zu der Auflösung des Integrals addiert werden. Damit erhält man:
f(t)xa = KI · xe0 sin(ωt - 90°) + KI xe0

Jetzt klammern wir KI xe0aus.
f(t)xa = KI xe0[1 + sin(ωt - 90°)]
Das Ergebnis ist auch an den Beispiel gut nachvollziehbar. Als Eingang ist die Differenz zwischen Zulaufmenge und Ablaufmenge und als Ausgang die Füllstandshöhe. Die Anfangsbedingung war der Behälter ist leer (h = 0).
Wenn man von der Eingangsfunktion abließt, wann welche Menge in den Behälter zu- beziehungsweise abläuft, sieht man deutlich, das sich der Füllstand nach der berechneten Funktion ändern muss. Auf Grund des Vergleichs der Ein- und Ausgangsfunktion und der Formel wird auch ganz deutlich, wie sich später auch noch in der Ortskurve zeigt, das die Phasenverschiebung φ = -90° ist.

Übergangsfunktion

Jetzt wird die Gleichung der Sprungantwort wieder genutzt.

xa = KI xe t
Wenn man die Gleichung umstellt, erhält man die Übergansfunktion in der allgemeinen Form:
xa / xe = KI · t

Als Funktion dargestellt:

Frequenzgang

Der Frequenzgang wird durch die Transformation der Differentialgleichung ermittelt. Die Tabelle ist HIER
Die Differentialgleichung war:

xa = KI ∫xe dt

Nach der Transformation erhält man:
Darstellung des Frequenzganges in der Ortskurve: Im Frequenzgang ist 1/iω enthalten. Der Nenner muss reell gemacht werden.
Da i2 = -1 und (-1)2 = 1,
wird mit -1 · i2 = 1 multipliziert.
Dadurch kommt man auf folgende Formel:
F(iω) = (KI / ω) · i
Diese Gleichung enthält nut einen Imaginäranteil.
Durch Grenzwertrechnung erhält man:
Bei ω = 0 einen Frequenzgang von -∞i.
Bei ω → ∞ einen Frequenzgang von → 0.
Damit ergibt sich folgende Ortskurve:

Beim I0-Glied wird das Eingangssignal integriert, daher auch der Name. Bei diesen Glied ist das Eingangssignal und die Änderungsgeschwindigkeit des Ausgangssignals direkt proportional. Bei dem I0-Glied ist der Ausgang nur imaginär, dass heißt der Ausgang hat keinen Reellen Anteil, und die Phasenverschiebung φ ist immer -90°, das auch -π/2 entspricht.






D0-Glied

Um das D0-Glied zu erklären werden ich einen Tachodynamo benutzen. Bei ihm ist die Drehzahl n und die abgegebene Spannung U direkt proportional. Dies sind die Eigenschaften eines P0-Gliedes.

U = K · n

Die Drehzahl kann auch als Winkelgeschwindigkeit ω dargestellt werden.

Wenn man die Gleichung umstellt nach der Drehzahl n erhält man:

Dies eingesetzt in die Spannungs- Drehzahl- Gleichung ergibt:

Damit ist die Spannung U proportional zur Änderungsgeschwindigkeit des Winkels α Wenn man also bei den Tachodynamo den Winkel α als Eingang xe und die Spannung U als Ausgang xa nimmt, ist der Tachodynamo ein D0-Glied.

Differentialgleichung

Wenn für den differentiellen Übertragungsfaktor KD gilt


erhält man für den Tachodynamo folgende Differentialgleichung:

In diese Gleichung für den Eingang xe und für den Ausgang xa eingesetzt ergibt die allgemeine Form der Differentialgleichung:

Sprungantwort

Die Sprungantwort ergibt sich aus der Lösung der Differentialgleichung für den Sprungeingang.
Sprungeingang:

Sprungantwort:
Die Differentialgleichung lautet:
Um die Sprungantwort zu ermitteln, braucht man die Änderungsgeschwindigkeit der Eingangsgröße dxe / dt.
Für t < 0 ist xe konstant 0 , damit ist der Differentialquotient auch 0.
Für t > 0 ist xe konstant xe0, der Differentialquotient ist hier auch 0.
Für t = 0 ändert sich xe von 0 auf xe0, damit ist dxe = xe0, Wenn man jetzt xe0 durch den Limes → 0 teilt, ergibt sich ein Differentialquotient von → ∞.
Das in die Differentialgleichung eingesetzt, ergibt für die Sprungantwort:

für t ≠ 0 :       xa = 0
für t = 0 :        xa → ∞


Anstiegsantwort

Die Anstiegsantwort ergibt sich auch aus der Lösung der Differentialgleichung für den Anstiegseingang.
Anstiegseingang:

Anstiegsantwort:
Die Differentialgleichung lautet:

Wenn man für xe dann xe0 · t einsetzt, erhält man:

Die Gleichung aufgelöst ergibt die Anstiegsantwort:
xa = KD · xe0


Sinusantwort

Wenn man die Differentialgleichung für den Sinuseingang löst ergibt sich der Sinusausgang.
Der Sinuseingang:

xe = xe0 sin(ωt)
Die Sinusantwort:
Die Differentialgleichung für das D0-Glied lautet:
f(t)xa = KD · f(t)(dxe/dt)

Für xe den Sinuseingang eingesetzt ergibt:
f(t)xa = KD · d[xe0sin(ωt)]/dt
Wenn man in der Gleichung das Differential auflöst, erhält man die Funktion für die Sinusantwort.
xa = KD · xe0sin(ωt + 90°)

Übergangsfunktion
Die Übergangsfunktion ist der Quotient aus Ausgang und Eingang und wird anhand der Sprungantwort ermittelt. Die Sprungantwort ist bei t=0 unendlich und für t≠0 Null. Daraus ergibt sich mit Hilfe der Grenzwertrechnung, wie bei der Sprungantwort folgende Funktion:
xa/xe = ∞      für t = 0
xa/xe = 0      für t ≠ 0

Frequenzgang

Der Frequenzgang wird durch die Transformation der Differentialgleichung ermittelt. Die Tabelle dazu ist HIER.
Die Differentialgleichung lautet:


Daraus ergibt sich dann der Frequenzgang:
F(iω) = KD
Aus der Formel wird ersichtlich das der Frequenzgang keinen Realanteil hat.
Für ω = 0 ergibt sich ein Frequenzgang von 0.
Für ω → ∞ ergibt sich ein Frequenzgang von + ∞.
Aus den Frequenzgang wird damit folgende Ortskurve abgeleitet:

Beim D0Glied wird das Eingangssignal differenziert.
Bei diesen Glied ist die Änderungsgeschwindigkeit des Eingangs und der Ausgang proportional. Der Ausgang kann nur imaginäre Werte annehmen und die Phasenverschiebung φ ist immer +90° oder anders ausgedrückt +π/2.

Hier geht es zum 2.Teil der stetig linearen Grundglieder