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Stetig lineare Grundglieder 2.Teil
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T1-Glied oder Zeitglied 1.Ordnung

Als Beispiel zur Erklärung des T1-Gliedes nutze ich das RC-Glied.

Hierbei ist die Eingangsspannung UE das Eingangssignal xe und die Ausgangsspannung UA da Ausgangssignal xa.
Die Spannung die über den Widerstand R abfällt ist UR.

Differentialgleichung

Aus den Maschensatz ergibt sich:

UE = UR + UA
Nach den Ohmschen Gesetz ist der Spannungsabfall über R:
UR = R · I
Damit gilt für UE:
UE = R · I + UA
Die Ausgangsspannung UA ist die Spannung am Kondensator.
Die Strom - Spannungsgleichung der Kondensators:
Da der Strom über den Widerstand R und den Kondensator gleich ist (der Ausgang leistungslos ist), ergibt sich für das RC-Glied folgende Differentialgleichung:
Die Zeitkonstante T ist: T = R · C. Nach Ablauf der Zeit T sind 63% der Ausgangsgröße erreicht.
Wenn man jetzt die allgemeinen Größen xe, xa und T in diese Gleichung einsetzt, erhält man die Differentialgleichung für das T1-Glied:

Frequenzgang

Wenn man die Differentialgleichung nach folgender Tabelle HIER transformiert, erhält man folgende Gleichung:

T iω xa + xa = xe
(T iω + 1) xa = xe
Danach ergibt sich der Frequenzgang eines T1-Gliedes:
Um aus der Formel die Ortskurve abzuleiten muss man den Real- und den Imaginäranteil getrennt darstellen. Dazu muss der Nenner reell gemacht werden.
Dazu wird der Wert des Nenners, bei den der Imaginäranteil negiert wird, benutzt. Mit diesen Wert wird der Zähler und Nenner multipliziert.
Die Formel wird dann aufgelöst:
Jetzt wird der Realanteil und der Imaginäranteil getrennt:
Damit gilt:
    für ω = 0 Realanteil = 1 und Imaginäranteil = 0
   für ω → ∞ Realanteil = 0 und Imaginäranteil = 0
Für die Phasenverschiebung gilt:
tan(φ) = Imaginärteil / Realteil
Wenn man aus Gleichung, der in Real- und Imaginärteil aufgeteilt ist, die Werte einsetzt erhält man:
tan(φ) = -Tω
Aus der Gleichung für den Frequenzgang, am einfachsten geht es, wenn der Real- und Imaginärteil schon getrennt ist, die Ortskurve darstellen.

Sprungantwort

Die Sprungantwort ergibt sich aus der Lösung der Differentialgleichung für den Sprungeingang.
Sprungeingang:

Sprungantwort:
Die Differentialgleichung nach den Ausgang umstellt:
Dann ergibt sich durch die Laplacetransformation, die ich leider nicht kann, deswegen nutze ich Korrespondenzen (Tabelle HIER) dazu, die Sprungantwort:
Als Funktion dargestellt:
Aus dieser Formel ergeben sich nach für den Ablauf der Zeitkonstante T oder eines Vielfachen von ihr folgende Werte für die Ausgangsgröße:


t % xa vom Endwert
T 63
2T 86
3T 95
4T 98

Anstiegsantwort

Die Anstiegantwort ergibt sich auch aus der Lösung der Differentialgleichung für den Anstiegseingang.
Anstiegseingang:

Anstiegantwort:
Die Differentialgleichung wird für Anstiegantwort analog der Sprungantwort gelöst und ergibt:
Als Funktion dargestellt ergibt sich:

Sinusantwort im eingeschwungenen Zustand

Die Anstiegsantwort ergibt sich aus der Lösung der Differentialgleichung des Sinuseingangs.
Sinuseingang:

xe = xe0 sin(ωt)


Sinusausgang (als komplexe Zahl dargestellt):


Das Sinusverhalten wird durch Frequenzgang dargestellt. Zum Frequenzgang des T1-Gliedes habe ich schon weiter oben etwas geschrieben. Wir nutzen hierzu die Gleichung in der der Frequenzgang in den reellen und den imaginären Teil aufgeteilt ist.
Da F = xa / xe ist ergibt sich umgestellt:
Wenn man die Funktion des Eingangs einsetzt, erhält man:
Bei der Ortskurve hatten auch auch schon den tanφ für die Phasenverschiebung ermittelt.
tanφ = Imaginäranteil / Realanteil
Dies bedeutet auf a und b übertragen:
tanφ = b / a
Wenn man dann für a und b den anderen Term wieder einsetzt und auflöst, erhält man:
tanφ = -Tω
nach φ aufgelöst:
φ = arctan(-Tω)
Damit ergibt sich für die Differentialgleichung folgendes:


Sinusausgang (Betrag der Ausgangsgröße dargestellt):


Das Sinusverhalten wird durch Frequenzgang dargestellt. Zum Frequenzgang des T1-Gliedes habe ich schon weiter oben etwas geschrieben. Wir nutzen hierzu die Gleichung in der der Frequenzgang in den reellen und den imaginären Teil aufgeteilt ist.
Dies entspricht der Darstellung der Arithmetischen Form der komplexen Zahl.
F(iω) = a + ib
Dabei ist a = 1 / [(Tω)2 + 1 ] und b = -Tω / [(Tω)2 + 1 ] Wenn man um eine unübersichtliche Formel zu vermeiden, mit der Formel F(iω) = a + ib weiterrechnet. Hierbei muss man feststellen das F(iω) eigentlich eine komplexe Zahl a + ib, arithmetisch dargestellt, ist. Diese Zahl wird arithmetisch als Summe von reellen und imaginären Anteil dargestellt. Diese Zahl kann auch trigonometrisch und Eulerisch dargestellt werden. Hierzu brauch man den Betrag dieser Zahl, dass heißt die Länge des Zeigers in der Ortskurve. Der Betrag der komplexen Zahl |F(iω)| wird nach den Satz der Pythagoras aus der Ortskurve berechnet. |F(iω)|2 = a2 + b2 Damit ergibt sich für den Betrag des Frequenzganges folgendes:
|F(iω)| = (a2 + b2)1/2
Ich habe mich hier entschlossen für die Quadratwurzel die Potenzdarstellung 1/2 zu wählen. Dies ist mathematisch korrekt. Wenn man dann für a und b den anderen Term wieder einsetzt und auflöst, erhält man:
|F[jω| = 1 / [(Tω)2 + 1 ]1/2
Der Betrag des Frequenzganges entspricht der Amplitude der Sinusschwingung, die in der Elektrotechnik der Scheingröße entspricht, die man messen kann.
Bei der Ortskurve hatten auch auch schon den tanφ für die Phasenverschiebung ermittelt.
tanφ = Imaginäranteil / Realanteil
Dies bedeutet auf a und b übertragen:
tanφ = b / a
Wenn man dann für a und b den anderen Term wieder einsetzt und auflöst, erhält man:
tanφ = -Tω
Die Amplitude und die Phasenverschiebung haben wir ermittelt, und daraus folgt für den Sinusausgang im eingeschwungenen Zustand:
|xa| = {xe0 / [(Tω)2 + 1 ]1/2} sin[ωt + arctan(-Tω)]
oder
|xa| = {xe0 / [(Tω)2 + 1 ]1/2} sin(ωt + φ)
Da der Wert von φ negativ ist wird die negative Zahl zu addiert.
Den Sinusausgang kann man nicht regulär als Kurve darstellen, da die Amplitude und Phasenverschiebung von der Frequenz des Eingangssignals abhängig sind. Die beiden Grenzwerte der Funktionen werden bei ω = 0 und für ω gegen unendlich dargestellt.
Bei ω = 0 ist ist die Amplitude gleich xe0 und die Phasenverschiebung φ = 0 .
Bei ω → ∞ ist die Amplitude = 0 und die Phasenverschiebung φ = -90° = -π/2


Das T1-Glied ist eine PT1-Glied mit den Übertragungsfaktor K = 1. Die Amplitudenschwankungen des Ausgangssignals bei unterschiedlichen Frequenzen haben nichts mit den Übertragungsfaktor K sondern mit den Zeitverhalten zu tun.
Bei ω = 0 ist die Phasenverschiebung der Sinusfunktion φ = 0 und geht mit zunehmender Frequenz bei ω gegen unendlich auf φ = -90°, allerdings nicht linear.
Die Amplitude der Sinusfunktion ist bei ω = 0 gleich der Amplitude des Eingangssignals und nimmt allmählich mit steigender Frequenz ab und ist bei ω gegen unendlich null, und dies auch nicht linear.




Tt-Glied oder Totzeitglied

Das Totzeitglied werde ich ein Förderband als Beispiel nutzen.

Bei einen Totzeitglied ist der Übertragungsfaktor immer K = 1, dass heißt das Eingangssignal ist gleich dem Ausgangssignal. Die Ausgangsgröße eilt aber zeitlich der Eingangsgröße nach. Die Verzögerungszeit ist die Totzeit Tt. Das Eingangs- und das Ausgangssignal ist das Fördergut auf den Band.

Differentialgleichung

Die Zeit die vergeht, von Anfang des Bandes bis zum Ende, in der das Fördergut transportiert wird, ist auch gleichzeitig die Verzögerungszeit oder Totzeit Tt. die Formel für die Totzeit:

Tt = l / v
Für den Grenzfall das die Totzeit Tt = 0 , gilt
xa(t) = xe(t)
Wenn eine Totzeit Tt ungleich Null ist, so ist das Ausgangssignal um die Totzeit in der Zeitachse gegenüber den Eingangssignal verschoben. Damit lautet die Differentialgleichung:
xa(t) = xe(t - Tt)

Frequenzgang

Wenn man die Differentialgleichung nach der Tabelle HIER transformiert erhält man den Frequenzgang.

F(iω) = e-iωTt
Bei dieser Gleichung kann man auch den reellen und den imaginären Anteil trennen. Hierzu muss die EULERsche Form der komplexen Zahl in die trigonometrische Form umgewandelt werden. Dann ergibt sich:
F(iω) = cos(-ωTt) + i · sin(-ωTt)
In der trigonometrische Form der komplexen Zahl braucht man den Phasenwinkel φ nur auszulesen.
φ = -ωTt
Damit ergibt sich folgende Ortskurve:
Bei wachsender Frequenz ω wird der Phasenwinkel φ negativ immer größer. Der Zeiger in der Ortskurve rotiert im negativen Sinn um den Nullpunkt der Kurve. Die Länge des Zeigers ist der Betrag des Frequenzganges und ist 1.

Sprungantwort

Die Sprungantwort ergibt sich aus der Lösung des Sprungeingangs nach er Differentialgleichung.
Sprungeingang:

Sprungantwort:
xa = 0   für t < Tt
xa = xe   für t => Tt

Anstiegsantwort

Die Anstiegsantwort ergibt sich aus der Lösung der Differentialgleichung nach den Anstiegseingang. Anstiegseingang:

Anstiegantwort:
Die Differentialgleichung lautet:
xa(t) = xe(t - Tt)
Damit ergibt sich für die Anstiegsantwort:
xa = xe0 · (t - Tt)   für t< Tt
xa = 0   für t = > Tt
Das ergibt folgende Funktion:

Sinusantwort

Sinuseingang:

xe = xe0 sin(ωt)
Sinusantwort:
Für die Sinusantwort ergibt sich aus der Tatsache, das der Eingang nur zeitverzögert weitergegeben wird, folgendes:
xa = xe · sin[ω(t - Tt)]

Übergangsfunktion

Die Übergangsfunktion ergibt sich aus den Quotienten von Sprungausgang und Sprungeingang. Damit ergibt sich:

xa/xe = 0   für t < Tt
xa/xe = 1   für t => Tt
Das ist diese Funktion:

Bei einen Totzeitglied wird der Eingang immer um die Zeit Tt versetzt auf den Ausgang dargestellt. Der Übertragungsfaktor ist 1.
Bei der Ortskurve entspricht die Phasenverschiebung φ immer -ωTt. Die Phasenverschiebung steigt mit wachsender Frequenz, so dass bei ω gegen unendlich auch die Phasenverschiebung gegen minus unendlich geht. und der Zeiger mit der Länge 1 rotiert im negativen Sinn um den Nullpunkt der Ortskurve.




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