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Grundschaltungen stetig linearer Glieder

Allgemeines

Eine Regelkreis ist die Zusammenschaltung einzelner Glieder. Der Wirkungsweg der Glieder muss in eine Richtung (von der Eingangsgröße zur Ausgangsgröße) gewährleistet sein, aber in die andere Richtung (von Ausgangsgröße zur Eingangsgröße) ausgeschlossen sein.
Zum Aufbau eines Regelkreises werden Glieder in Reihe, parallel und gegeneinander geschaltet.
Die Schaltungen lassen sich gut mit den Frequenzgang der Einzelglieder berechnen. Der Frequenzgang der Schaltung kann dann auch in die Differentialgleichung zurücktransformiert werden.
Folgende Gleichung bildet die Grundlage zur Berechnung der Grundschaltungen:

xa = F(iω) xe
Zur Vereinfachung der Schreibweise der Formel wird auch F statt F(iω) genutzt. Dann ändert sich die Formel wie folgt:
xa = F xe

Reihenschaltung

Schaltung der Reihenschaltung von zwei Gliedern:

Das Ersatzschaltbild für die Schaltung:
Für das zweite Glied in der Reihenschaltung gilt:
xa2 = F2 · xe2
Da xa2 = xa und xe2 = xa1 folgt:
xa = F2 · xa1
Wenn man die Beziehung für das erste Glied der Reihenschaltung
xa1 = F1 · xe1
in diese Gleichung einsetzt, ergibt sich:
xa = F2 · F1 · xe1
Da xe1 = xe ist, kommt man auf folgende Gleichung:
xa = F2 · F1 · xe
Wegen der Beziehung xa = F · xe folgt für den Frequenzgang der Reihenschaltung von Gliedern:
F = F1 · F2
Der Frequenzgang einer Reihenschaltung von Gliedern ist das Produkt der einzelnen Frequenzgänge der Glieder.

Parallelschaltung

Schaltung zur Parallelschaltung von zwei Gliedern:

Das Ersatzschaltbild für die Zeichnung:
Für die Größen in diesen Schaltung gilt:
xe = xe1 = xe2
xa = xa1 + xa2
Der Frequenzgang des Gliedes 1 ist:
xa1 = F1 xe1
und des Gliedes 2:
xa2 = F1 xe2
Wenn man in der Gleichung mit den Ausgangsgrößen für xa1 und xa2 die Frequenzgänge einsetzt erhält man:
xa = F1 xe1 + F2 xe2
Da für die Eingangsgrößen folgendes gilt: xe = xe1 = xe2 ergibt sich:
xa = (F1 + F2) xe
Da xa = F xe ist ergibt sich für den Frequenzgang der Schaltung:
F = F1 + F2
Der Frequenzgang einer Parallelschaltung von Gliedern ist die Summe der einzelnen Frequenzgänge der Glieder.

Rückführschaltung

Schaltung zur Rückführschaltung :

Das Ersatzschaltbild für die Zeichnung:
Für das Vorwärtsglied gilt:
xav = Fv xev
Da xav = xer = xa ist ergibt sich:
xa = Fv xev
xev = xa / Fv
Für das Rückwärtsglied gilt:
xar = Fr xer
Da xav = xer = xa ist ergibt sich:
xar = Fr xa
An den Summierglied gilt:
xe - xar = xev
xe = xev + xar
Wenn man xev aus der Gleichung für das Vorwärtsglied und xar für das Rückwartsglied einsetzt, ergibt es:
xe = xa / Fv + Fr xa
xa ausgeklammert ergibt:
xe = xa (1/Fv + Fr)
und nach xa umgestellt:
Diese Gleichung wird für ein Spezialfall der Rückführungsschaltung verwendet. Aber um zu der allgemein üblichen Form der Gleichung für den Rückführungsschaltung zu kommen, muss man noch den Zähler und Nenner mit Fv erweitern und erhält:
Da für die gesamte Schaltung xa = F xe gilt, ergibt sich für den Frequenzgang:

Rückführschaltung für Regler

Die Schaltung entspricht der normalen Rückführschaltung mit Fv = K gegen unendlich.

Das Ersatzschaltbild für die Zeichnung:
Jetzt komme ich auf die Gleichung aus den vorherigen Abschnitt zurück:
Wenn Fv = K gegen unendlich ist ergibt sich für 1/Fv null. Dadurch erhalten wir folgende Gleichung:
xa = 1 / Fr xe
Daraus folgt wiederum:
F = 1 / Fr