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Schaltkombinationen stetig linearer Glieder 1.Teil
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Allgemeines

Die erläuterten Grundglieder kommen in der Reglungstechnik in verschiedenen Schaltungen vor. Die öfter vorkommenden Kombinationen von Grundgliedern sollen hier aus den Frequenzgängen der Grundglieder berechnet werden. Dadurch spart man sich ein Teil Arbeit, wenn man die PI-, PD-, T2-, DT1- und andere Glieder schon beschrieben hat. Die Glieder, von denen keine Beschreibung vorliegt, müssen auf Schaltkombinationen der Grundglieder zurückgeführt werden, und dann ähnlich den nachfolgenden Beispielen berechnet werden.



PI-Glied

Das PI-Glied ist eine Parallelschaltung von einen P-Glied und einen I-Glied.
Die Schaltung:

Frequenzgang

Der Frequenzgang des P-Gliedes ist F = K
und der des I-Gliedes ist F = KI / iω
Da der Frequenzgang der Parallelschaltung die Summe der Einzelfrequenzgänge ist, ist der Frequenzgang für das PI-Glied:

F = K + KI/iω
Für verschiedene Berechnungen braucht man den Reell- und Imaginäranteil getrennt. Dazu muss der in dieser Formel enthaltene Bruch mit i/i erweitert werden,
und da i2 = -1, ergibt das folgende Formel:
F =K - KIi/ω


Der Reellanteil des PI-Gliedes ist für alle ω gleich K.
Für den Imaginäranteil gilt:
     bei ω = 0 Imaginäranteil gegen minus unendlich
     bei ω gegen unendlich Imaginäranteil = 0
Damit erhält man folgende Ortskurve:

Differentialgleichung

Der Frequenzgang lautete:

F = K + KI/iω
Aus den Frequenzgang kann man die Differentialgleichung mit Hilfe der Tabelle HIER transformieren. Dann erhält man folgende Differentialgleichung:
xa = Kxe + KI∫xe dt

Sprungantwort

Die Sprungantwort ergibt sich auch wiederum aus der Lösung der Differentialgleichung für den Sprungeingang.
Sprungeingang:

Wenn man die Sprungantwort aus der Differentialgleichung
xa = Kxe + KI∫xe dt
ableitet, erhält man:
xa = K xe0 + KI xe0 t
Die Funktion grafisch dargestellt:
An der Funktion ist deutlich die Addition der P-Glied-Sprungantwort und der I-Glied-Sprungantwort zu erkennen.
Diese Sprungantwort ist für das PI-Glied typisch.

Anstiegsantwort

Die Anstiegsantwort ergibt sich auch aus der Lösung der Differentialgleichung für den Anstiegseingang.
Anstiegseingang:

Jetzt leite ich die Anstiegsantwort wieder aus der Differentialgleichung
xa = Kxe + KI∫xe dt
ab und erhalte:
xa = K xe0 t + KI xe0 t2
Als Funktion grafisch dargestellt:

Sinusantwort im eingeschwungenen Zustand

Die Anstiegsantwort ergibt sich aus der Lösung der Differentialgleichung des Sinuseingangs.
Sinuseingang:

xe = xe0 sin(ωt)


Sinusausgang (als komplexe Zahl dargestellt):


Der Sinusausgang wird durch den Frequenzgang dargestellt, und ich nutze hier die Form der Gleichung in der der Reell- und Imaginäranteil getrennt ist.
F =K - KIi/ω
Der Frequenzgang ist F = xa / xe und damit ergibt sich:
xa = xe (K - i KI / ω)
Für xe noch die Eingangsfunktion eingesetzt ergibt sich:
xa = (K - i KI / ω) xe0 sin(ωt)



Sinusausgang (Betrag des Ausgangs dargestellt):

Das Sinusverhalten wird durch den Frequenzgang dargestellt. Um die Sinusantwort aus den Frequenzgang zu ermitteln, nutzt man die Gleichung, in der der bei dem Frequenzgang Reell- und Imaginäranteil getrennt dargestellt wird.
F = K - i · KI / ω
Für den Betrag dieser komplexen Zahl ergibt sich dann:
|F| = [K2 + (KI/ω)2]1/2
Da für tanφ folgendes gilt:
tanφ = Imaginäranteil / Reellanteil
erhält man:
tanφ = - KI/(Kω)
somit ist:
φ = arctan[-KI/(Kω)]
Damit ist die Sinusantwort dargestellt als Betrag:
|xa| = xe0[K2 + (KI/ω)2]1/2 sin(ωt + φ)
oder:
|xa| = xe0[K2 + (KI/ω)2]1/2 sin{ωt + arctan[-KI/(Kω)]}

Für das PI-Glied ist der Reellanteil des Frequenzganges immer K.
Für ω = 0 gilt: Der Imaginäranteil ist gegen minus unendlich und die Phasenverschiebung φ ist gegen -90° oder -π/2.
Für ω gegen unendlich gilt: Der Imaginäranteil ist 0 und die Phasenverschiebung φ ist auch 0.



PD-Glied

Das PD-Glied ist eine Parallelschaltung von einen P-Glied und einen D-Glied.
Die Schaltung:

Frequenzgang

Der Frequenzgang des P-Gliedes ist F = K
und der des D-Gliedes ist F = KD
Da der Frequenzgang der Parallelschaltung die Summe der Einzelfrequenzgänge ist, ist der Frequenzgang für das PI-Glied:

F = K + KD
Für verschiedene Berechnungen braucht man den Reell- und Imaginäranteil getrennt, dies ist in dieser Formel schon der Fall. Der Reellanteil des PI-Gliedes ist für alle ω gleich K.
Für den Imaginäranteil gilt:
     bei ω = 0 ist der Imaginäranteil = 0
     bei ω gegen unendlich ist Imaginäranteil gegen plus unendlich
Damit erhält man folgende Ortskurve:

Differentialgleichung

Der Frequenzgang lautete:

F = K + KD
Aus den Frequenzgang kann man die Differentialgleichung mit Hilfe der Tabelle HIER transformieren. Dann erhält man folgende Differentialgleichung:

Sprungantwort

Die Sprungantwort ergibt sich auch wiederum aus der Lösung der Differentialgleichung für den Sprungeingang.
Sprungeingang:

Wenn man die Sprungantwort aus der Differentialgleichung
ableitet erhält man:
    für t < 0 ; xa = 0
    für t = 0 ; xa → ∞
    für t> 0 ; xa = KD xe0
Die Funktion grafisch dargestellt:
In dieser Kurve sieht man, wie Sprungantwort des D-Gliedes und des P-Gliedes addiert sind.

Anstiegsantwort

Die Anstiegsantwort ergibt sich auch aus der Lösung der Differentialgleichung für den Anstiegseingang.
Anstiegseingang:

Jetzt leite ich die Anstiegsantwort wieder aus der Differentialgleichung
ab und erhalte:
xa = K xe0 t + KD xe0
Als Funktion grafisch dargestellt:
In dieser Funktion erkennt man auch, wie die Anstiegsantwort des P-Gliedes und des D-Gliedes addiert werden.

Sinusantwort im eingeschwungenen Zustand

Die Anstiegsantwort ergibt sich aus der Lösung der Differentialgleichung des Sinuseingangs.
Sinuseingang:

xe = xe0 sin(ωt)


Sinusausgang (als komplexe Zahl dargestellt):


Der Sinusausgang wird durch den Frequenzgang dargestellt, und ich nutze hier die Form der Gleichung in der der Reell- und Imaginäranteil getrennt ist.
F =K + KD
Der Frequenzgang ist F = xa / xe und damit ergibt sich:
xa = xe (K + i KD ω)
Für xe noch die Eingangsfunktion eingesetzt ergibt sich:
xa = (K + i KD ω) xe0 sin(ωt)



Sinusausgang (Betrag des Ausgangs dargestellt):

Das Sinusverhalten wird durch den Frequenzgang dargestellt. Um die Sinusantwort aus den Frequenzgang zu ermitteln, nutzt man die Gleichung, in der der bei dem Frequenzgang Reell- und Imaginäranteil getrennt dargestellt wird.
F = K + i · KD ω
Für den Betrag dieser komplexen Zahl ergibt sich dann:
|F| = [K2 + (KDω)2]1/2
Da für tanφ folgendes gilt:
tanφ = Imaginäranteil / Reellanteil
erhält man:
tanφ = KDω/K
somit ist:
φ = arctan(KDω/K)
Damit ist die Sinusantwort dargestellt als Betrag:
|xa| = xe0[K2 + (KDω)2]1/2 sin(ωt + φ)
oder:
|xa| = xe0[K2 + (KDω)2]1/2 sin[ωt + arctan(KDω/K)]

Für das PD-Glied ist der Reellanteil des Frequenzganges immer K.
Für ω gegen unendlich gilt: Der Imaginäranteil ist gegen plus unendlich und die Phasenverschiebung φ ist gegen +90° oder +π/2.
Für ω = 0 gilt: Der Imaginäranteil ist 0 und die Phasenverschiebung φ ist auch 0.